Question

【題目】已知橢圓的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，且與拋物線的焦點(diǎn)重合.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）的最小值為.

【解析】試題分析：（1）由題可知）拋物線的焦點(diǎn)為，所以，然后根據(jù)離心率可得a值，從而得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（2）根據(jù)題意則需求出AC和BD的長度表達(dá)式，顯然可以根據(jù)直線與橢圓的弦長公式求得，所以設(shè)， ，直線的方程為，代入橢圓方程， ，同理求出AC的長度，然后化簡即得 .

解析：

（1）拋物線的焦點(diǎn)為，所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）（i）當(dāng)直線的斜率存在且時(shí)，

直線的方程為，代入橢圓方程，

并化簡得.

設(shè)， ，則， ，

.

易知的斜率為，

所以.

.

當(dāng)，即時(shí)，上式取等號(hào)，故的最小值為.

（ii）當(dāng)直線的斜率不存在或等于零時(shí)，易得.

綜上， 的最小值為.