Question

已知函數.
(1) 試判斷函數在上單調性并證明你的結論；
(2) 若恒成立, 求整數的最大值；
(3) 求證：.

Answer 1

（1）上是減函數
（2）正整數k的最大值是3
（3）由(Ⅱ)知∴利用放縮法得到。

試題分析：解：(1)
 上是減函數 4分
(2)即h(x)的最小值大于k.
 則上單調遞增,
又 存在唯一實根a, 且滿足

當 
∴ 故正整數k的最大值是3  ----9分
(3)由(Ⅱ)知∴ 
令, 則
∴ln(1＋1×2)＋ln(1＋2×3)＋…＋ln[1＋n(n＋1)]

∴(1＋1×2)(1＋2×3)…[1＋n(n＋1)]＞e^2n－3          14分
點評：主要是考查了導數在研究函數單調性的運用，屬于中檔題。