Question

給定一個n項的實數列a1，a2，…，an(n∈N*)，任意選取一個實數c，變換T（c）將數列a₁，a₂，…，a_n變換為數列|a₁-c|，|a₂-c|，…，|a_n-c|，再將得到的數列繼續實施這樣的變換，這樣的變換可以連續進行多次，并且每次所選擇的實數c可以不相同，第k（k∈N^*）次變換記為T_k（c_k），其中c_k為第k次變換時選擇的實數．如果通過k次變換后，數列中的各項均為0，則稱T₁（c₁），T₂（c₂），…，T_k（c_k）為“k次歸零變換”．
（Ⅰ）對數列：1，3，5，7，給出一個“k次歸零變換”，其中k≤4；
（Ⅱ）證明：對任意n項數列，都存在“n次歸零變換”；
（Ⅲ）對于數列1，2²，3³，…，nⁿ，是否存在“n-1次歸零變換”？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據新定義，計算經變換T₁（4）；T₂（2）；T₃（1），或T₁（2）；T₂（2）；T₃（2）；T₄（1），可得結論；
（Ⅱ）記經過T_k（c_k）變換后，數列為

a

(k) 1

，

a

(k) 2

，…，

a

(k) n

．取c1=

1

2

(a1+a2)，c2=

1

2

(

a

(1) 2

+

a

(1) 3

)，繼續做類似的變換，取ck=

1

2

(

a

(k-1) k

+

a

(k-1) k+1

)，（k≤n-1），經T_k（c_k）后，得到數列的前k+1項相等，再取cn=

a

(n-1) n

，經T_n（c_n）后，即可得到結論；
（Ⅲ）不存在“n-1次歸零變換”．利用數學歸納法進行證明．

解答：解：（Ⅰ）方法1：T₁（4）：3，1，1，3；T₂（2）：1，1，1，1；T₃（1）：0，0，0，0．
方法2：T₁（2）：1，1，3，5；T₂（2）：1，1，1，3；T₃（2）：1，1，1，1；T₄（1）：0，0，0，0．．…（4分）
（Ⅱ）經過k次變換后，數列記為

a

(k) 1

，

a

(k) 2

，…，

a

(k) n

，k=1，2，…．
取c1=

1

2

(a1+a2)，則

a

(1) 1

=

a

(1) 2

=

1

2

|a1-a2|，即經T₁（c₁）后，前兩項相等；
取c2=

1

2

(

a

(1) 2

+

a

(1) 3

)，則

a

(2) 1

=

a

(2) 2

=

a

(2) 3

=

1

2

|

a

(1) 3

-

a

(1) 2

|，即經T₂（c₂）后，前3項相等；
…
設進行變換T_k（c_k）時，其中ck=

1

2

(

a

(k-1) k

+

a

(k-1) k+1

)，變換后數列變為

a

(k) 1

，

a

(k) 2

，

a

(k) 3

，…，

a

(k) k+1

，

a

(k) k+2

，…，

a

(k) n

，則

a

(k) 1

=

a

(k) 2

=

a

(k) 3

=…=

a

(k) k+1

；
那么，進行第k+1次變換時，取ck+1=

1

2

(

a

(k) k+1

+

a

(k) k+2

)，
則變換后數列變為

a

(k+1) 1

，

a

(k+1) 2

，

a

(k+1) 3

，…，

a

(k+1) k+1

，

a

(k+1) k+2

，

a

(k+1) k+3

，…，

a

(k+1) n

，
顯然有

a

(k+1) 1

=

a

(k+1) 2

=

a

(k+1) 3

=…=

a

(k+1) k+1

=

a

(k+1) k+2

；
…
經過n-1次變換后，顯然有

a

(n-1) 1

=

a

(n-1) 2

=

a

(n-1) 3

=…=

a

(n-1) n-1

=

a

(n-1) n

；
最后，取cn=

a

(n-1) n

，經過變換T_n（c_n）后，數列各項均為0．
所以對任意數列，都存在“n次歸零變換”． …（9分）
（Ⅲ）不存在“n-1次歸零變換”．…（10分）
證明：首先，“歸零變換”過程中，若在其中進行某一次變換T_j（c_j）時，c_j＜min{a₁，a₂，…，a_n}，那么此變換次數便不是最少．這是因為，這次變換并不是最后的一次變換（因它并未使數列化為全零），設先進行T_j（c_j）后，再進行T_j+1（c_j+1），由||a_i-c_j|-c_j+1|=|a_i-（c_j+c_j+1）|，即等價于一次變換T_j（c_j+c_j+1），同理，進行某一步T_j（c_j）時，c_j＞max{a₁，a₂，…，a_n}；此變換步數也不是最小．
由以上分析可知，如果某一數列經最少的次數的“歸零變換”，每一步所取的c_i滿足min{a₁，a₂，…，a_n}≤c_i≤max{a₁，a₂，…，a_n}．
以下用數學歸納法來證明，對已給數列，不存在“n-1次歸零變換”．
（1）當n=2時，對于1，4，顯然不存在“一次歸零變換”，結論成立．
（由（Ⅱ）可知，存在“兩次歸零變換”變換：T1(

5

2

)，T2(

3

2

)）
（2）假設n=k時成立，即1，2²，3³，…，k^k不存在“k-1次歸零變換”．
當n=k+1時，假設1，2²，3³，…，k^k，（k+1）^k+1存在“k次歸零變換”．
此時，對1，2²，3³，…，k^k也顯然是“k次歸零變換”，由歸納假設以及前面的討論不難知1，2²，3³，…，k^k不存在“k-1次歸零變換”，則k是最少的變換次數，每一次變換c_i一定滿足1≤ci≤kk，i=1，2，…，k．
因為|…||(k+1)k+1-c1|-c2|-…-ck|=(k+1)k+1-(c1+c2+…+ck)≥（k+1）^k+1-k•k^k＞0
所以，（k+1）^k+1絕不可能變換為0，與歸納假設矛盾．
所以，當n=k+1時不存在“k次歸零變換”．
由（1）（2）命題得證．            …（13分）

點評：本題考查數學歸納法，考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，難度較大．