Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件求出，對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，即可求出的單調(diào)區(qū)間.

（2）將不等式轉(zhuǎn)化為.令，.通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，可知 ，即可求出實(shí)數(shù) 的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ），

當(dāng)時(shí)，，故，

∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間．

當(dāng)時(shí)，令，，

列表：

	＋	－	＋

由表可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間為和，

遞減區(qū)間為．

（Ⅱ）∵，

∴由條件，對(duì)成立．

令，，

∴

當(dāng)時(shí)，，

∴在上單調(diào)遞減，

∴，即

∴在上單調(diào)遞減，

∴，

故在上恒成立，只需，

∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．

點(diǎn)晴：本題考查的用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題.研究單調(diào)性問(wèn)題，首先看導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的方程能否因式分解，否則的話需要對(duì)其判別式，

進(jìn)行分別討論，時(shí)原函數(shù)單調(diào)，,需要對(duì)方程的根和區(qū)間的端點(diǎn)大小進(jìn)行比較;第二問(wèn)中的不等式恒成立問(wèn)題，首選變量分離轉(zhuǎn)化為確定的函數(shù)求最值即可.