Question

【題目】出租車幾何學(xué)是由十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)立的.在出租車幾何學(xué)中，點(diǎn)還是形如的有序?qū)崝?shù)對(duì)，直線還是滿足的所有組成的圖形，角度大小的定義也和原來(lái)一樣，對(duì)于直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)、定義它們之間的一種“距離”（“直角距離”）：，請(qǐng)解決以下問(wèn)題：

（1）求線段（，）上一點(diǎn)到原點(diǎn)的“距離”；

（2）求所有到定點(diǎn)的“距離”均為2的動(dòng)點(diǎn)圍成的圖形的周長(zhǎng)；

（3）在“歐式幾何學(xué)”中有如下三個(gè)與“距離”有關(guān)的正確結(jié)論：

①平面上任意三點(diǎn)A，B，C，；

②平面上不在一直線上任意三點(diǎn)A，B，C，若，則是以為直角三角形

③平面上存在兩個(gè)不同的定點(diǎn)A，B，若動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是的垂直平分線

上述結(jié)論對(duì)于“出租車幾何學(xué)”中的直角距離是否還正確，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）2（2）（3）①正確②錯(cuò)誤③錯(cuò)誤，見解析

【解析】

(1)根據(jù)“直角距離”的定義直接求解即可.

(2)設(shè)點(diǎn)到定點(diǎn)的“距離”為2,再根據(jù)定義任意兩點(diǎn)、間的“距離”分四種情況求解即可.

(3)直接證明或舉出反例判斷即可.

(1)易得線段上一點(diǎn)到原點(diǎn)的“距離”為

(2) 設(shè)點(diǎn)到定點(diǎn)的“距離”為2,則

1.當(dāng)時(shí), ,

此時(shí)為線段,

2.當(dāng)時(shí), ,

此時(shí)為線段,

3.當(dāng)時(shí), ,

此時(shí)為線段,

4.當(dāng)時(shí), ,

此時(shí)為線段,

易得圍成的圖形的形狀為以為頂點(diǎn)的正方形

故周長(zhǎng)為.

(3)

①設(shè),

則,，.

根據(jù)絕對(duì)值三角不等式可知,

同理.

故.

故成立.故①正確.

② 設(shè),則,

,.

滿足,但,故②錯(cuò)誤.

③設(shè),則,

,滿足,但不在的垂直平分線上.故③錯(cuò)誤.

綜上所述, ①正確②錯(cuò)誤③錯(cuò)誤