Question

隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元，而1件次品虧損2萬元．設(shè)1件產(chǎn)品的利潤（單位：萬元）為ξ．
（1）求ξ的分布列；
（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤（即ξ的數(shù)學(xué)期望）；
（3）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為1%，一等品率提高為70%．如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤不小于4.73萬元，則三等品率最多是多少？

Answer 1

分析：（1）由題意知，ξ的所有可能取值有6，2，1，-2，利用概率的公式分別求出它們的概率，列成表格即得；
（2）為了1件產(chǎn)品的平均利潤，只須利用數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算出數(shù)學(xué)期望值大小即可；
（3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，再算出用x表示的此時(shí)1件產(chǎn)品的數(shù)學(xué)期望值，列不等關(guān)系解不等式即可．

解答：解：ξ的所有可能取值有6，2，1，-2；P(ξ=6)=

126

200

=0.63，P(ξ=2)=

50

200

=0.25P(ξ=1)=

20

200

=0.1，P(ξ=-2)=

4

200

=0.02
故ξ的分布列為：

ξ	6	2	1	-2
P	0.63	0.25	0.1	0.02

（2）Eξ=6×0.63+2×0.25+1×0.1+（-2）×0.02=4.34
（3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤為E（x）=6×0.7+2×（1-0.7-0.01-x）+1×x+（-2）×0.01=4.76-x（0≤x≤0.29）
依題意，E（x）≥4.73，即4.76-x≥4.73，解得x≤0.03所以三等品率最多為3%

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量及其分布列和離散型隨機(jī)變量的期望與方差，屬于基礎(chǔ)題之列．