有一塊邊長為4米的正方形鋼板，現對其進行切割，焊接成一個長方體無蓋容器（切、焊損耗忽略不計），有人用數學知識作了如下設計：在鋼板的四個角處各切去一個小正方形，剩余部分圍成長方體。
（Ⅰ）求這種切割、焊接而成的長方體的最大容積
.
（Ⅱ）請問：能重新設計，使所得長方體的容器的容積
嗎？若能、給出你的一種設計方案。
（Ⅰ）
(m3)；（Ⅱ）能（參考解析）
解析試題分析：（Ⅰ）根據題意可得假設每個小正方形的邊長為x.則通過折疊可得一個無蓋的正方體.所以可以求出正方體的體積的表達.通過求導可求得體積的最大值.
（Ⅱ）本小題的設計較困難.通過對比和體積公式的應用可以假設出較多的方案.本小題的設計方案具有一定的技巧性.
試題解析：（1）設切去的小正方形邊長為x.則
.所以
.所以當
時. 
.當
時. 
.所以當
時. (m3).
(2)能.如圖所示.先在在正方形一邊的兩個角出各切下一個邊長為1米的小正方形.再將這兩個小正方形焊接在另一邊的中間.然后焊接成長方形容器.此時. 
.
考點：1.正方體的體積的求法.2.導數求最值.3.創新思維的構造.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某單位擬建一個扇環面形狀的花壇(如圖所示)，該扇環面是由以點
為圓心的兩個同心圓弧和延長后通過點的兩條直線段圍成．按設計要求扇環面的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米.設小圓弧所在圓的半徑為
米，圓心角為
（弧度）．
（1）求
關于的函數關系式；
（2）已知在花壇的邊緣(實線部分)進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米．設花壇的面積與裝飾總費用的比為
，求關于
的函數關系式，并求出為何值時，取得最大值？
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件．
（1）據市場調查，若價格每提高1元，銷售量將相應減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最多為多少元？
（2）為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量．公司決定明年對該商品進行全面技術革新和營銷策略改革，并提高定價到
元．公司擬投入
萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入
萬元作為浮動宣傳費用．試問：當該商品明年的銷售量
至少應達到多少萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價．
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．
在
上的值域；
，在
上存在唯一的
，使得
；
的值．
的解集是
．
(c為常數) ．
的定義域； 
，
，
的最大值
；
．
；
的最小值．