Question

如圖，在增四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BB₁=+1，E為BB₁上使B₁E=1的點(diǎn)．平面AEC₁交DD₁于F，交A₁D₁的延長(zhǎng)線于G，求異面直線AD與C₁G所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：本題適合建立空間坐標(biāo)系得用向量法解決這個(gè)立體幾何問(wèn)題，建立空間坐標(biāo)系，給出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出異面直線AE與A₁F的方向向量，利用利用夾角公式求異面直線AE與A₁F所成角的余弦值即可．
解答：解：以A₁為原點(diǎn)，A₁B₁，A₁D₁，A₁A所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
于是，，．
因?yàn)镋C₁和AF是平行平面BB₁C₁C和AA₁D₁D與平面AEC₁G的交線，
所以EC₁∥AF．設(shè)G（0，y，0），
則．由，
于是．
故．
設(shè)異面直線AD與C₁G所成的角的大小為θ，
則：，從而．
點(diǎn)評(píng)：考查用空間向量為工具解決立體幾何問(wèn)題，此類題關(guān)鍵是找清楚線的方向向量，本小題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．