Question

如圖，設(shè)橢圓：的離心率，頂點(diǎn)的距離為,為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于兩點(diǎn).
（ⅰ）試判斷點(diǎn)到直線的距離是否為定值.若是請(qǐng)求出這個(gè)定值，若不是請(qǐng)說明理由；
（ⅱ）求的最小值.

Answer 1

（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）．

解析試題分析：（1）利用離心率可得，關(guān)系．由兩個(gè)頂點(diǎn)距離可得，距離，由此結(jié)合可求得，的值，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分直線的斜率不存在與存在兩種情況求解．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，情況特殊，易求解；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立消去得到關(guān)于的一元二次方程，然后結(jié)合韋達(dá)定理與，以及點(diǎn)到直線的距離公式求解；（3）在中，利用＝與，結(jié)合基本不等式求解．
試題解析：（1）由，得，
由頂點(diǎn)的距離為，得，
又由，解得，所以橢圓C的方程為．
（2）解：（ⅰ）點(diǎn)到直線的距離為定值．
設(shè),
① 當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，則為等腰直角三角形，不妨設(shè)直線：，
將代入，解得，
所以點(diǎn)到直線的距離為；
② 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為與橢圓：，
聯(lián)立消去得，
，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a7/1/1ys5o3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，，
即，
所以，整理得，
所以點(diǎn)到直線的距離＝．
綜上可知點(diǎn)到直線的距離為定值．
（ⅱ）在中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c9/9/10oai2.png" style="vertical-align:middle;" />＝
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/0a/8/13kbz3.png" style="vertical-align:middle;" />≤