Question

（本小題滿分14分）

    已知曲線經過點A(2,1)，過A作傾斜角互補的兩條不同直線.

（Ⅰ）求拋物線的方程及準線方程；

（Ⅱ）當直線與拋物線相切時，求直線與拋物線所圍成封閉區域的面積；

（Ⅲ）設直線分別交拋物線于B，C兩點（均不與A重合），若以線段BC為直徑的圓與拋物線的準線相切，求直線BC的方程.

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）拋物線的方程為，其準線方程為.

（Ⅱ）直線與拋物線所圍成封閉區域的面積為:

                                      

（Ⅲ）BC的方程為，即.

【解析】.解：（Ⅰ）由于A(2,1)在拋物線上， 所以  ，即.    ……………….2分

         故所求拋物線的方程為，其準線方程為.      ……………….3分

（Ⅱ）當直線與拋物線相切時，由，可知直線的斜率為1，其傾斜角為，所以直線的傾斜角為，故直線的斜率為，所以的方程為  …….4分

將其代入拋物線的方程，得  , 解得  ,    …….5分

所以直線與拋物線所圍成封閉區域的面積為:

                                        ……………….6分

   ……………….8分

（Ⅲ）不妨設直線AB的方程為，                                      ……………….9分

      由

      得,          ……………….10分

      易知該方程有一個根為2，所以另一個根為，

      所以點B的坐標為,

      同理可得C點坐標為,                 ……………….11分

      所以

,                           ……………….12分

      線段BC的中點為，因為以BC為直徑的圓與準線相切，

      所以  ,由于，  解得  .     …………….13分

      此時，點B的坐標為，點C的坐標為，

      直線BC的斜率為，

      所以，BC的方程為，即.   …….14分