Question

已知函數f(x)＝lnx－.
(1)當時，判斷f(x)在定義域上的單調性；
(2)若f(x)在[1，e]上的最小值為，求的值.

Answer 1

（1）f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增函數
（2）a＝－.

試題分析：解：(1)由題得f(x)的定義域為(0，＋∞)，
且f′(x)＝＋＝.∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上是單調遞增函數.
(2)由(1)可知：f′(x)＝，
①若a≥－1，則x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，此時f(x)在[1，e]上為增函數，∴f(x)_min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－ (舍去).  
②若a≤－e，則x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，此時f(x)在[1，e]上為減函數，∴f(x)_min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－ (舍去).
③若－e<a<－1，令f′(x)＝0，得x＝－a.
當1<x<－a時，f′(x)<0，∴f(x)在(1，－a)上為減函數；
當－a<x<e時，f′(x)>0，∴f(x)在(－a，e)上為增函數，
∴f(x)_min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝⇒a＝－.
綜上可知：a＝－.
點評：解決的關鍵是根據導數的正負判定函數單調性，以及函數的極值，進而確定出函數的最值，屬于基礎題。