Question

【題目】某工廠抽取了一臺設備在一段時間內生產的一批產品，測量一項質量指標值，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）計算該樣本的平均值，方差；（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）

（2）根據長期生產經驗，可以認為這臺設備在正常狀態下生產的產品的質量指標值服從正態分布，其中近似為樣本平均值，近似為樣本方差.任取一個產品，記其質量指標值為.若，則認為該產品為一等品；，則認為該產品為二等品；若，則認為該產品為不合格品.已知設備正常狀態下每天生產這種產品1000個.

（i）用樣本估計總體，問該工廠一天生產的產品中不合格品是否超過？

（ii）某公司向該工廠推出以舊換新活動，補足50萬元即可用設備換得生產相同產品的改進設備.經測試，設備正常狀態下每天生產產品1200個，生產的產品為一等品的概率是，二等品的概率是，不合格品的概率是.若工廠生產一個一等品可獲得利潤50元，生產一個二等品可獲得利潤30元，生產一個不合格品虧損40元，試為工廠做出決策，是否需要換購設備？

參考數據：①；②；③，.

Answer 1

【答案】(1) ； (2) （i）見解析（ii）見解析

【解析】

（1）根據頻率分布直方圖，用各組區間的中點值作代表可求得樣本的平均值，方差。

（2）根據（1）中求得的平均值，方差，可求得在范圍內的頻率，進而可判斷出不合格品是否超過；或利用正太分布曲線，求后進行判斷。

跟題意，求得A設備與B設備的盈利均值，并根據每天多盈利額判斷即可。

（1）由頻率分布直方圖可得

.

（2）（i）方法一：由（1）得，

由圖可得質量指標值在和的頻率為，

所以該工廠一天生產的產品中不合格品超過.

方法二：由于.

所以該工廠一天生產的產品中不合格品超過.

（ii）設，分別為設備，一天為工廠創造的利潤，

則

，

，

所以采用新設備利潤每天增加，

因此，只需56天使用設備產生的利潤就超過使用設備產生的利潤和換購費用總和，從長遠來看，應該換購設備.