Question

對定義在[0，1]上，并且同時滿足以下兩個條件的函數f（x）稱為G函數．
①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②當x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，總有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
已知函數g（x）=x²與h（x）=a•2^x-1是定義在[0，1]上的函數．
（1）試問函數g（x）是否G函數？并說明理由；
（2）若函數h（x）是G函數，求實數a的值；
（3）在（2）的條件下，是否存在實數m，使方程g（2^x-1）+h（x）=m恰有兩解？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據G函數的定義，驗證G函數的兩個條件，即可判斷；
（2）根據因為函數h（x）是G函數，利用G函數的兩個條件，即可求得實數a的值；
（3）根據（2）知a=1，原方程可以化為4^x-2^x=m，再利用換元法，即可得出結論．

解答：解：（1）當x∈[0，1]時，總有g（x）=x²≥0滿足①…（1分）
當x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1時，g（x₁+x₂）=（x₁+x₂）²≥x₁²+x₂²=g（x₁）+g（x₂）滿足②…（3分）
所以函數g（x）為G函數；…（4分）
（2）因為函數h（x）是G函數，根據①有h（0）=a-1≥0，∴a≥1，…（6分）
根據②有h（x₁+x₂）≥h（x₁）+h（x₂），∴a×2^x₁+x₂-1≥a×2^x₁-1+a×2^x₂-1
∴a[1-（2^x₁-1）（2^x₂-1）]≤1…（7分）
因為x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
所以2^x₁∈[0，1]，2^x₂∈[0，1]，其中2^x₁-1和2^x₂-1不能同時取到1，
于是（2^x₁-1）（2^x₂-1）]∈[0，1]，∴1-（2^x₁-1）（2^x₂-1）∈（0，1]，…（9分）
所以a≤

1

1-(2x1-1)(2x2-1)

，即a≤1，…（10分）
于是a=1…（11分）
（3）根據（2）知a=1，原方程可以化為4^x-2^x=m，…（12分）
由0≤2^x₁-1≤1，0≤x≤1，可得0≤x≤1，…（14分）
令t=2^x∈[1，2]，…（15分）
則m=4^x-2^x=t²-t=(t-

1

2

)2-

1

4

，…（16分）
因此，當m∈[0，2]時，方程有一解；…（16分）
當m∈（-∞，0）∪（2，+∞）時，方程無解；…（17分）
因此，方程不存在兩解．…（18分）

點評：本題考查新定義，考查利用新定義求參數的取值，考查換元法，考查配方法求函數的值域，解題的關鍵是正確理解新定義．