Question

已知函數f(x)=

4x

4x+2

（1）試求f(

1

n

)+f(

n-1

n

)(n∈N*)的值；
（2）若數列{a_n}滿足a_n=f（0）+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f（1）（n∈N^*），求數列{a_n}的通項公式；
（3）若數列{b_n}滿足b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，S_n是數列{b_n}前n項的和，是否存在正實數k，使不等式knS_n＞4b_n對于一切的n∈N^*恒成立？若存在指出k的取值范圍，并證明；若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）+f（1-x）=

4x

4x+2

+

41-x

41-x+2

=

4x

4x+2

+

4

4+2•4x

=1，能得到f（

1

n

）+f（

n-1

n

）=1．由此規律求值即可

（2）由a_n=f（0）+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f（1）（n∈N^*），知an=f(1)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f（

1

n

）+f（0）（n∈N^*），由倒序相加法能得到an=

n+1

2

．
（3）由bn=2n+1•an，知bn=(n+1)•2n，由Sn=2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2ⁿ，利用錯位相減法能求出S_n=n•2ⁿ⁺¹，要使得不等式knS_n＞4b_n恒成立，即kn²-2n-2＞0對于一切的n∈N^*恒成立，由此能夠證明當k＞4時，不等式knS_n＞b_n對于一切的n∈N^*恒成立．

解答：（本小題滿分16分）
解：（1）∵f（x）+f（1-x）=

4x

4x+2

+

41-x

41-x+2

=

4x

4x+2

+

4

4+2•4x

=1
∴f（

1

n

）+f（

n-1

n

）=1．（5分）
（2）∵a_n=f（0）+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)+f（1）（n∈N^*），①
∴an=f(1)+f(

n-1

n

)+f(

n-2

n

)+…+f（

1

n

）+f（0）（n∈N^*），②
由（1），知 f（

1

n

）+f（

n-1

n

）=1，
∴①+②，得2a_n=n+1，
∴an=

n+1

2

．（10分）
（3）∵bn=2n+1•an，∴bn=(n+1)•2n，
∴Sn=2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2ⁿ，①
∴2S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②得-Sn=4+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1，
即S_n=n•2ⁿ⁺¹，（12分）
要使得不等式knS_n＞4b_n恒成立，即kn²-2n-2＞0對于一切的n∈N^*恒成立，
n=1時，k-2-2＞0成立，即k＞4．
設g（n）=kn²-2n-2，
當k＞4時，由于對稱軸直線n=

1

k

＜1，且 g（1）=k-2-2＞0，而函數f（x）在[1，+∞） 是增函數，
∴不等式knS_n＞b_n恒成立，
即當k＞4時，不等式knS_n＞b_n對于一切的n∈N^*恒成立 …（16分）

點評：本題考查數列、不等式知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．解題時要注意倒序相加法、錯位相減法的靈活運用．