Question

（滿分16分）
記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在，使成立，則稱以為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)圖象上的不動(dòng)點(diǎn)。
（1）若函數(shù)的圖象上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的不動(dòng)點(diǎn)，求應(yīng)滿足的條件；
（2）下述結(jié)論“若定義在Ｒ上的奇函數(shù)f(x)的圖象上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則不動(dòng)點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)”是否正確？若正確，請(qǐng)給予證明，并舉出一例；若不正確，請(qǐng)舉出一反例說明

Answer 1

（1）
（2）證明略

解：（1）由， …………………………………………2分
整理得   ……………………………………4分
由題意知方程（*）有兩個(gè)互為相反數(shù)的根，所以即………6分
，，……………………………………………………8分
故應(yīng)滿足且……………………………………………………10分
（2）結(jié)論正確。……………………………………………………12分
證明：為奇函數(shù)，，取，得，
即（0,0）為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)函數(shù)除0以外還有不動(dòng)點(diǎn)，
則
又，故也為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。…………………14分
綜上，若定義在R上的奇函數(shù)圖象上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則不動(dòng)點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)。
例如：。…………………………………………………16分