Question

【題目】在極坐標(biāo)系中，曲線的方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸所在直線為軸建立直角坐標(biāo)，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），與交于，兩點(diǎn)．

（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；

（2）設(shè)點(diǎn)；若、、成等比數(shù)列，求的值

Answer 1

【答案】(1) 曲線的直角坐標(biāo)方程為，直線的普通方程為 ； (2)

【解析】

(1)由極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式和參數(shù)方程與普通方程的互化，即可求解曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；

(2)把的參數(shù)方程代入拋物線方程中，利用韋達(dá)定理得，，可得到，根據(jù)因?yàn)?/span>，，成等比數(shù)列，列出方程，即可求解．

(1)由題意，曲線的極坐標(biāo)方程可化為，

又由，可得曲線的直角坐標(biāo)方程為，

由直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)，得，

即直線的普通方程為；

(2)把的參數(shù)方程代入拋物線方程中，得，

由，設(shè)方程的兩根分別為，，

則，，可得，．

所以，，．

因?yàn)?/span>，，成等比數(shù)列，所以，即，

則，解得解得或（舍），

所以實(shí)數(shù).