Question

（本小題滿分15分）
已知圓，為拋物線上的動點.
(Ⅰ) 若，求過點的圓的切線方程；
(Ⅱ) 若，求過點的圓的兩切線與軸圍成的三角形面積的最小值.

Answer 1

（Ⅰ）切線方程為或．
（Ⅱ）兩切線與軸圍成的三角形面積的最小值為32．

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用，求解切線方程以及三角形面積的求解的綜合運用。
（1）因為．當點時，設切線方程為，即，利用導數的幾何意義得到k的值，得到結論。
（2）設切線，即，
切線與軸交點為，圓心到切線的距離為．
表示得到三角形的面積的公式，然后結合函數求解得到最值。
解：（Ⅰ）．
當點時，設切線方程為，即．
圓心到切線的距離為，即．
所以，得或．
所以切線方程為或．………………………………………………6分
（Ⅱ）設切線，即，
切線與軸交點為，圓心到切線的距離為．
即，
化簡得
設兩切線斜率分別為，則，

，當且僅當時取等號．
所以兩切線與軸圍成的三角形面積的最小值為32．………………………………15分