Question

在以下四個命題中，不正確的個數為（　　）
（1）若

a

與

b

-

c

都是非零向量，則

a

 • 

b

=

a

 • 

c

是

a

⊥(

b

-

c

)的充要條件
（2）已知不共線的三點A、B、C和平面ABC外任意一點O，點P在平面ABC內的充要條件是存在x，y，z∈R，

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

且x+y+z=1
（3）空間三個向量

a

，

b

，

c

，若

a

∥

b

，

b

∥

c

，  則

a

∥

c

（4）對于任意空間任意兩個向量

a

， 

b

，

a

∥

b

的充要條件是存在唯一的實數λ，使

a

=λ

b

．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：利用“兩個向量垂直”等價于“兩向量的數量積為零”知①正確；根據空間向量基本定理可以推得②正確，舉反例可得③、④不正確，因此可得題中的正確命題有兩個．

解答：解：對于（1），由向量垂直的充要條件得：

a

•

b

=

a

•

c

?

a

(

b

-

c

)  =0?

a

⊥

b

-

c

，說明①正確．
對于（2），若

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

且x+y+z=1，則

AP

=(x-1)

OA

+y

OB

+z

OC

=y(

OB

-

OA

)+z(

OC

-

OA

)
=y

AB

+z

AC

由空間向量基本定理，得

AP

、

AB

、

AC

三個向量共面，說明點P在平面ABC內．
反之，如果點P在平面ABC內，類似地可以證明存在x，y，z∈R，

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

且x+y+z=1，方法同上，因此②正確．
對于（3），若空間三個向量

a

，

b

，

c

，若

a

 ∥

b

且

b

∥

c

，但

b

是零向量，則不能滿足

a

∥

c

，說明③不正確．
對于（4），若兩個向量

a

， 

b

，

a

∥

b

，但若

b

=

o

但

a

不是零向量，則不存在實數λ，使

a

=λ

b

成立說明④不正確．
故選B．

點評：本題考查兩個向量數量積的運算和充要條件的定義，屬于基礎題．熟練掌握向量運算性質，準確理解充要條件的含義，是解決本題的關鍵．