Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+ax2（a∈R），y=f（x）的圖象連續不間斷．
（1）求函數y=f（x）的單調區間；
（2）當a=1時，設l是曲線y=f（x）的一條切線，切點是A，且l在點A處穿過函數y=f（x）的圖象（即動點在點A附近沿曲線y=f（x）運動，經過點A時，從l的一側進入另一側），求切線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數的導數f′（x）= +2ax= （x＞0），

若a≥0，則f'（x）＞0，此時函數單調遞增，即增區間為（0，+∞）；

若a＜0，由f′（x）＞0，得2ax2+1＞0，即 ，得0＜x＜ ，

由f′（x）＜0，得x＞ ．

∴函數的減區間為（ ，+∞），增區間為（0， ），

綜上：若a≥0，函數的增區間為（0，+∞）．

若a＜0，函數的增區間為（0， ），減區間為（ ，+∞）；

（2）設切點A（x0，f（x0）），x0＞0， ，

∴在點A處切線的斜率是 ．

∴切線方程為 ，

即 ．

l在點A處穿過函數y=f（x）的圖象，即在點A的兩側，曲線y=f（x）在直線的兩側，

令 ，設h（x）=f（x）﹣g（x），

∴在x=x0附近兩側h（x）的值異號．

設 ﹣lnx0，注意到h（x0）=0．

下面研究函數的單調性：

= = ．

當 時：

x	（0，x0）	（x0， ）	（ ，+∞）
h′（x）	+	﹣	+
h（x）	增	減	增

∴當x∈（0，x0）時，h（x）是增函數，則h（x）＜h（x0）=0，

當x∈（ ，+∞）時，h（x）是減函數，則h（x）＜h（x0）=0．

∴h（x）在x=x0處取極大值，兩側附近同負，與題設不符；

同理，當x0 時，h（x）在x=x0處取極小值，兩側附近同正，與題設不符；

故 ，即 時，h′（x）= ，∴h（x）在（0，+∞）內單調遞增．

∴當x∈（0，x0）時，h（x）＜h（x0）=0，當x∈（ ，+∞），h（x）＞h（x0）=0符合題設．

∴ ，切線方程為 ．

【解析】（1）先對函數f（x）求導，再對a的值分情況判斷函數f（x）的單調性，從而函數y=f（x）的單調區間；（2）先設切點A（x0，f（x0）），x0＞0，進而利用導數求出函數f（x）在A處的切線方程，再由已知條件轉化為在點A的兩側，曲線y=f（x）在直線的兩側，進而構造函數h（x）=f（x）﹣g（x），從而可得在x=x0附近兩側h（x）的值異號，最后利用導數研究函數h（x）單調性，進而可得x0，從而可得切線l的方程．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能正確解答此題．