Question

已知公差不為0的等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S₅=3a₅-2，又a₁，a₂，a₅依次成等比數列，數列{b_n}滿足b₁=-9，bn+1=bn+

k

2 an+1 2

，（n∈N⁺）其中k為大于0的常數．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記數列a_n+b_n的前n項和為T_n，若當且僅當n=3時，T_n取得最小值，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據所給的等差數列的三項之間的關系，求出數列的首項和公差的關系，求出首項和公差，寫出數列的通項，根據所給的數列的遞推式，代入前面求出的數列的通項，整理仿寫一個通項，連續兩項做差，再利用累加得到要求的數列的通項．
（2）根據所求的兩個數列的通項．構造新數列，連續兩項做差，得到數列是一個遞增數列，當n=3時，取得最小值，根據條件做出k的取值范圍．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，則S₅=5a₁+10d
∵S₅=3a₅-2=3（a₁+4d）-2=3a₁+12d-2
∴5a₁+10d=3a₁+12d-2
∴a₁=d-1
∵a₁，a₂，a₅依次成等比數列
∴a₂²=a₁a₅即（a₁+d）²=a₁（a₁+4d）
化簡得：d=2a₁
∴a₁=1，d=2
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1
∴bn+1=bn+

k

2 an+1 2

=bn+

k

2n

∴bn+1-bn=

k

2n

當n≥2時，bn-bn-1=

k

2n-1

bn-1-bn-2=

k

2n-2

b2-b1=

k

2

∴bn-b1=

k

2n-1

+

k

2n-2

+

k

2

=k×(

2n-1-1

2-1

×

1

2n-1

)=k×

2n-1-1

2n-1

=k-

2k

2n-1

∴bn=-9+k-

2k

2n-1

當n=1時，b₁=9滿足上式
∴bn=-9+k-

2k

2n-1

(n∈N*)
（2）∵a_n=2n-1，bn=-9+k-

k

2n-1

(n∈N*)
∴(an+1+bn+1)-(an+bn)=2+

k

2n

＞0
∴數列a_n+b_n是遞增數列
∵當n=3時，T_n取得最小值
∴a3+b3=5+(k-9-

k

4

)=

3k

4

-4＜0a4+b4=7+(k-9-

k

8

)=

7k

8

-2＞0
解得

16

7

＜k＜

16

3

．

點評：本題考查數列的遞推式和數列的求和，本題解題的關鍵是應用函數的思想來解決數列的問題，本題是一個綜合題目．