Question

如圖，已知曲線C：y＝x²(0≤x≤1)，O(0，0)，Q(1，0)，R(1，1)．取線段OQ的中點A₁，過A₁作x軸的垂線交曲線C于P₁，過P₁作y軸的垂線交RQ于B₁，記a₁為矩形A₁P₁B₁Q的面積．分別取線段OA₁，P₁B₁的中點A₂，A₃，過A₂，A₃分別作x軸的垂線交曲線C于P₂，P₃，過P₂，P₃分別作y軸的垂線交A₁P₁，RB₁于B₂，B₃，記a₂為兩個矩形A₂P₂B₂ A₁與矩形A₃P₃B₃B₁的面積之和．以此類推，記a_n為2^n－1個矩形面積之和，從而得數列{a_n}，設這個數列的前n項和為S_n．

(Ｉ)求a₂與a_n；
(Ⅱ)求S_n，并證明S_n＜．

Answer 1

(Ｉ) ，；（Ⅱ）見解析.

試題分析：（Ⅰ）根據題意先寫出各點坐標，再分別求，然后總結與曲線交點坐標，從而再求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的表達式，先把變形為差的形式，再求表達式，利用等比數列前項和公式求，然后把與進行比較，即得證.
試題解析：(Ｉ) 由題意知P₁(，)，故a₁＝×＝．
又P₂(，)，P₃(，)，
故a₂＝×[＋－]＝×(1²＋3²－2²)＝．
由題意，對任意的k＝1，2，3，，n，有
(，)，i＝0，1，2，，2^k－1－1，
故a_n＝×[＋－＋－＋＋－]
＝×[1²＋3²－2²＋5²－4²＋…＋(2ⁿ－1)²－(2ⁿ－2)²]
＝×{1＋(4×1＋1)＋(4×2＋1)＋…＋[4×(2^n－1－1)＋1]}
＝×
＝．
所以a₂＝，a_n＝，n∈N*．        10分
(Ⅱ)由(Ｉ)知a_n＝，n∈N*，
故S_n＝－＝－＝．
又對任意的n∈N*，有＞0，
所以S_n＝?＜．               14分