Question

（2012•鐘祥市模擬）已知某幾何體的直觀圖和三視圖如圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形．

（1）求證：BN⊥平面C₁B₁N；
（2）設(shè)θ 為直線C1N與平面CNB1所成的角，求sinθ 的值；
（3）設(shè)M為AB中點(diǎn)，在BC邊上找一點(diǎn)P，使MP∥平面CNB₁并求

BP

PC

的值．

Answer 1

分析：（1）該幾何體的正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，BA，BC，BB₁兩兩垂直． 以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA，BC，BB₁所在直線別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系
，證出

BN1

•

NB1

=0，

BN

•

B1C1

=0后即可證明BN⊥平面C₁B₁N；
（2）求出平面NCB₁的一個(gè)法向量

n2

，利用

C1N

與此法向量的夾角求出直線C₁N與平面CNB₁所成的角
（3）設(shè)P（0，0，a）為BC上一點(diǎn)，由MP∥平面CNB₁，得知

MP

⊥

n2

，利用向量數(shù)量積為0求出a的值，并求出

BP

PC

的值．

解答：（1）證明：∵該幾何體的正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，
∴BA，BC，BB₁兩兩垂直．                              …（2分）
以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA，BC，BB₁所在直線別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4）
∵

BN

•

NB1

=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0

BN

•

B1C1

=（4，4，0）•（0，0，4）=0
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁且NB₁與B₁C₁相交于B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N；   …（4分）
（2）解：設(shè)n₂=（x，y，z）為平面NCB₁的一個(gè)法向量，
則  

n2 • CN =0 n2 • NB1 =0

⇒

(x，y，z)•(4，4，-4)=0 (x，y，z)•(-4，4，0)=0

⇒

x+y-z=0 -x+y=0

，取

n2

=(1，1，2)，

C1N

=(4，-4，-4)
則sinθ=|

(4，-4，-4)•(1，1，2)

16+16+16 • 1+1+4

|=

2

3

；…（8分）
（3）∵M(jìn)（2，0，0）．設(shè)P（0，0，a）為BC上一點(diǎn)，則

MP

=(-2，0，a)，∵M(jìn)P∥平面CNB₁，
∴

MP

⊥

n2

⇒

MP

•

n2

=(-2，0，a)•(1，1，2)=-2+2a=0⇒a=1．
又PM?平面CNB₁，∴MP∥平面CNB₁，
∴當(dāng)PB=1時(shí)，MP∥平面CNB₁
∴

BP

PC

=

1

3

…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與平面之間的位置關(guān)系及判斷，線面角求解，利用空間向量的方法，能夠降低思維難度，但要注意有關(guān)的運(yùn)算要準(zhǔn)確．