Question

稱滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”：
①；②.
（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式是，
試判斷數(shù)列是否為2014階“期待數(shù)列”，并說(shuō)明理由；
（2）若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”，求公比q及的通項(xiàng)公式；
（3）若一個(gè)等差數(shù)列既是階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；

Answer 1

（1）是；
（2）．或；
（3）；

試題分析：（1）判斷數(shù)列是不是為2014階“期待數(shù)列”，就是根據(jù)定義計(jì)算，，是不是一個(gè)為0，一個(gè)為1，如是則是“期待數(shù)列”，否則就不是；（2）數(shù)列中等比數(shù)列，因此是其前和，故利用前前項(xiàng)和公式，分和進(jìn)行討論，可很快求出，或；（3）階等差數(shù)列是遞增數(shù)列，即公差，其和為0，故易知數(shù)列前面的項(xiàng)為負(fù)，后面的項(xiàng)為正，即前項(xiàng)為正，后項(xiàng)為正，因此有，，這兩式用基本量或直接相減可求得，，因此通項(xiàng)公式可得．
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032400041595.png" style="vertical-align:middle;" />，          2分
所以

，
所以數(shù)列為2014階“期待數(shù)列”           4分
（2）①若，由①得，，得，矛盾．     5分
若，則由①=0，得，     7分
由②得或．
所以，．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是
或            9分
（3）設(shè)等差數(shù)列的公差為，>0．
∵，∴，∴，
∵>0，由得，，         11分
由①、②得，，     13分
兩式相減得，， ∴，
又，得，
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式是．  16分和公式與通項(xiàng)公式；（3）等差數(shù)列的前和公式與通項(xiàng)公式．