Question

（本題滿分12分）
在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點在原點，經過點A(2,2)，其焦點F在x軸上．
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)設直線l是拋物線的準線，求證：以AB為直徑的圓與準線l相切．

Answer 1

(1) y²＝2x (2)關鍵證明AB的中點到準線的距離等于AB的一半。

試題分析：解：(1)設拋物線y²＝2px(p>0)，將點(2,2)代入得p＝1.
∴y²＝2x為所求拋物線的方程．
(2)證明：設l_AB的方程為：x＝ty＋，代入y²＝2x得：y²－2ty－1＝0，設AB的中點為M(x₀，y₀)，則y₀＝t，x₀＝.
∴點M到準線l的距離d＝x₀＋＝＋＝1＋t².又AB＝2x₀＋p＝1＋2t²＋1＝2＋2t²，∴d＝AB，故以AB為直徑的圓與準線l相切．
點評：求拋物線的方程，前提是設拋物線的方程，而設置拋物線可結合焦點，像本題通過畫圖，知道拋物線的焦點在x軸的正半軸上，因而可令拋物線的方程為y²＝2px(p>0)（式子中的x 對應x軸，2px前面是正的對應正半軸）。第二題涉及直線與拋物線這兩種曲線，當兩者相交時，常常在聯立方程組后，用到根與系數的關系式：