Question

冪指函數(shù)y=[f（x）]^g（x）在求導(dǎo)時，可運(yùn)用對數(shù)法：在函數(shù)解析式兩邊求對數(shù)得lny=g（x）•lnf（x），兩邊同時求導(dǎo)得

y/

y

=g/(x)lnf(x)+g(x)

f/(x)

f(x)

，于是y′=[f(x)]g(x)[g/(x)lnf(x)+g(x)

f/(x)

f(x)

]，運(yùn)用此方法可以探求得知y=x

1

x

的一個單調(diào)遞增區(qū)間為（　　）

A．（0，2）

B．（2，3）

C．（e，4）

D．（3，8）

Answer 1

分析：利用所給的方法，求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可確定y=x

1

x

的一個單調(diào)遞增區(qū)間，即可選出正確選項(xiàng)．

解答：解：設(shè)f（x）=x，g（x）=

1

x

所以f′（x）=1，g′（x）=-

1

x2

所以，y′=x

1

x

×（-

1

x2

lnx+

1

x2

）=

1-lnx

x2

×x

1

x

∵x＞0，∴x

1

x

＞0，x²＞0
令y′＞0，可得只要 1-lnx＞0
∴x∈（0，e）
∴y=x

1

x

的一個單調(diào)增區(qū)間為（0，e）或它的一個子集即可，
故選A．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查新定義的運(yùn)用，考查利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是利用新定義求出導(dǎo)函數(shù)．