Question

已知橢圓的一個焦點F與拋物線y²=4x的焦點重合，且截拋物線的準線所得弦長為，傾斜角為45°的直線l過點F，
（Ⅰ）求該橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓的另一個焦點為F₁，問拋物線y²=4x上是否存在一點M，使得M與F₁關于直線l對稱，若存在，求出點M的坐標，若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）拋物線y²=4x的焦點為F（1，0），準線方程為x=-1，
∴，①
又橢圓截拋物線的準線x=-1所得弦長為，
∴得上交點為，
∴，②
由①代入②得（舍去），
從而，
∴該橢圓的方程為該橢圓的方程為；
（2）∵傾斜角為45°的直線l過點F，
∴直線l的方程為，
由（1）知橢圓的另一個焦點為，
設與F₁關于直線l對稱，
則得，
又M（1，-2）滿足y²=4x，
故點M在拋物線上。
所以拋物線y²=4x上存在一點M（1，-2），使得M與F₁關于直線l對稱。