Question

【題目】設函數．

（I）若，求函數的單調區間．

（II）若函數在區間上是減函數，求實數的取值范圍．

（III）過坐標原點作曲線的切線，求切線的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1）減區間為，增區間為．（2）（3）1

【解析】試題分析：（1）求出，由可得函數的減區間，由可得函數的增區間；（2）轉化成對任意恒成立求解，即對任意恒成立，求出的最小值即可；（3）設出切點，結合導數的幾何意義求出過切點的切線方程，利用切線過原點可求得切點坐標。

試題解析：（I）時， ，

∴．

∵當， ， 為單調減函數．

當， ， 為單調增函數．

∴的單調減區間為，單調增區間為．

（II）∵， 在區間上是減函數，

∴對任意恒成立．

即對任意恒成立．

令， ．

易知在上單調遞減，∴．

∴．

（III）設切點為，

由題意得，

∴,

∴曲線在點切線方程為，

即．

又切線過原點，

∴，

整理得，

設，

則恒成立， 在上單調遞增，

又，

∴在上只有一個零點，即，

∴切點的橫坐標為．