Question

【題目】如圖，在四面體中，.

（1）求證:平面平面；

（2）若，二面角為，求異面直線與所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

（1）取中點連接，得，可得，

可證，可得，進而平面，即可證明結論；

（2）設分別為邊的中點，連，可得，，可得（或補角）是異面直線與所成的角，，可得，為二面角的平面角，即，設，求解，即可得出結論.

（1）證明:取中點連接，

由則

，則，

故，，

平面，又平面，

故平面平面

（2）解法一:設分別為邊的中點，

則，

（或補角）是異面直線與所成的角.

設為邊的中點，則，

由知.

又由（1）有平面，

平面，

所以為二面角的平面角，，

設則

在中，

從而

在中，，

又，

從而在中，因，

，

因此，異面直線與所成角的余弦值為.

解法二:過點作交于點

由（1）易知兩兩垂直，

以為原點，射線分別為軸，

軸，軸的正半軸，建立空間直角坐標系.

不妨設，由，

易知點的坐標分別為

則

顯然向量是平面的法向量

已知二面角為，

設，則

設平面的法向量為，

則

令，則

由

由上式整理得，

解之得(舍)或

，

因此，異面直線與所成角的余弦值為.