Question

【題目】已知函數f（x）=lg（x2+tx+2）（t為常數，且﹣2 ＜t＜2 ）．
（1）當x∈[0，2]時，求函數f（x）的最小值（用t表示）；
（2）是否存在不同的實數a，b，使得f（a）=lga，f（b）=lgb，并且a，b∈（0，2）．若存在，求出實數t的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：令g（x）=x2+tx+2對稱軸為x=﹣ ，

② 當﹣ ≤0，即t≥0時，g（x）min=g（0）=2，∴f（x）min=lg2；

②當0＜﹣ ＜2，即﹣4＜t＜0時，g（x）min=g（﹣ ）=2﹣ ，

考慮到g（x）＞0，則

1°﹣2 ＜t＜0，f（x）min=f（﹣ ）=lg（2﹣ ），

2°﹣4＜t≤﹣2 ，沒有最小值．

③當﹣ ≥2，即t≤﹣4時，g（x）min=g（2）=6+2t，

考慮到g（x）＞0∴f（x）沒有最小值．

綜上所述：當t≤﹣2時f（x）沒有最小值；

當t＞﹣2時，f（x）min=

（2）解：假設存在，則由已知等價于x2+tx+2=x在區間（0，2）上有兩個不同的實根，

等價于t=﹣（ +x）+1，x∈（0，2）

t′=﹣1+ ，x∈（0， ），t′＞0；x∈（ ，2），t′＜0．

x= 取最大值1﹣2 ．x=2，t=﹣2．

可得﹣2＜t＜1﹣2 ．

故存在，實數t的取值范圍是﹣2＜t＜1﹣2

【解析】（1）令g（x）=x2+tx+2，要求函數f（x）的最小值，根據復合函數的單調性可知，只要求解函數g（x）的最小值即可，結合圖象，需判斷對稱軸與區間[0，2]的位置關系，分類討論；（2）假設存在，則由已知等價于x2+tx+2=x在區間（0，2）上有兩個不同的實根，分離參數，運用導數求出右邊的最值和范圍，即可得出結論．
【考點精析】關于本題考查的函數的最值及其幾何意義和二次函數在閉區間上的最值，需要了解利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；當時，當時，；當時在上遞減，當時，才能得出正確答案．