Question

（理）有一種數字游戲規則如下：將正整數1，2，3，…，n按逆時針方向依次放
置在一個單位圓上，然后從1開始，按逆時針方向每隔一個數就刪除一個數，且第一個刪除
的數是1，直至剩下最后一個數而終止，這個最后剩下的數稱為約瑟夫數。則當n=69時的
約瑟夫數為（   ）

A．10

B．8

C．6

D．2

Answer 1

A

本題考查等差數列的通項公式。
思路上，不妨先從小到大，從簡到繁進行分析。如果n=2,那么1,2；如果n=3，那么1,2,3；
如果n=4，就應該1,2,3,4；然后將4下一個數，也就是2，去掉。
那么n=69時，本題的解答過程如下：
1,2,3,4,5，……，67,68,69；
第一次去掉所有奇數，余下2,4,6,8,10,12,14,16，……，62,64,66，68；本次，最后一個去掉的是69，那么下一輪的開始，應該跳過2，從4開始。
第二次去掉4,8,12，16，……，64,68（這些是4的倍數），余下2,6,10,14，18，……，58，62，66（被4除余2的數）.最后一個去掉數是68，那么下一輪的開始，應該跳過2，從6開始。
第三次，去掉6,14,22，……，62（被8除余6的數），余下2,10,18,26，34，42，50，58，66（被8除余2的數）。最后一個去掉的是62，那么下一輪的開始，應該跳過66，從2開始。
第四次，去掉2,18,34，50，66（被16除余2的數），余下10,26,42,58。最后一個去掉的是66，那么下一輪的開始，跳過10，從26開始。
第五次，去掉26,58；第六次，去掉42，余10.
本題或許還有其他更簡潔的解法。如果出題意圖本身就是用此種方式考查等差數列的通項公式，那么復雜程度過大，同一知識點反復運用次數過多。