Question

某城市的車牌號是由0，1，2，…9的10個數字組成的六位數碼（數字可重復使用，且0可作首位），則滿足各位數字之和為9的倍數，且至少含有三個9的車牌號共有（ ）
A．1762個
B．278個
C．5560個
D．1620個

Answer 1

【答案】分析：各位數字之和為9的且至少含有三個9的車牌號有三大類：6個9；5個9；4個9；3個9，根據分類計數原理得到結果．
解答：解：由題意知本題是一個分類計數問題，
各位數字之和為9的，且至少含有三個9的車牌號有兩類：
①6個9：有C₆⁶=1個；
②5個9，一個0：有C₆⁵=6個；
③4個9，二個0：有C₆⁴=15個；
④4個9，二個是1，8；2，7；3，6；4，5：有4C₆⁴A₂²=120個；
⑤3個9，三個是1，1，7；1，2，6；1，3，5；1，4，4；2，3，4；2，5，2；3，3，3；5，6，7；5，5，8；3，7，8；6，6，6；4，6，8；4，7，7；2，8，8：
有C₆³（6A₃¹+6A₃³+2）=1120個；
⑥3個9，一個0二個是1，8；2，7；3，6；4，5：有4C₆³A₃³=480個；
⑦3個9，三個0：有C₆³=20個；
∴根據分類計數原理知共有1+6+15+120+1120+480+20=1762個．
故選A．
點評：本題考查分類計數問題，是一個數字之和是定值的問題，數字問題是排列組合與計數原理的主角，經常出現，并且常出常新．