Question

【題目】設Sn是數列{an}的前n項和，已知a1=3，an+1=2Sn+3（n∈N） （I）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）令bn=（2n﹣1）an ， 求數列{bn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵an+1=2Sn+3，∴當n≥2時，an=2Sn﹣1+3， ∴an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1）=2an ， 化為an+1=3an ．
∴數列{an}是等比數列，首項為3，公比為3．
∴an=3n ．
（II）bn=（2n﹣1）an=（2n﹣1）3n ，
∴數列{bn}的前n項和Tn=3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）3n ，
3Tn=32+3×33+…+（2n﹣3）3n+（2n﹣1）3n+1 ，
∴﹣2Tn=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）3n+1= ﹣3﹣（2n﹣1）3n+1=（2﹣2n）3n+1﹣6，
∴Tn=（n﹣1）3n+1+3
【解析】（I）利用遞推關系與等比數列的通項公式即可得出；（II）利用“錯位相減法”與等比數列的其前n項和公式即可得出．
【考點精析】本題主要考查了數列的前n項和和數列的通項公式的相關知識點，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能正確解答此題．