Question

在平面直角坐標(biāo)系中，過定點(diǎn)作直線與拋物線（）相交于兩點(diǎn)．
（I）若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，求面積的最小值；
（II）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）

（Ⅰ）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可設(shè)，
直線的方程為，與聯(lián)立得消去得．
由韋達(dá)定理得，．
于是．

，
當(dāng)時(shí)，．
（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，
的中點(diǎn)為，與為直徑的圓相交于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，
則，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
，
，

，
．
令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，
即拋物線的通徑所在的直線．

解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長(zhǎng)公式得

，
又由點(diǎn)到直線的距離公式得．
從而，
當(dāng)時(shí)，．
（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，
將直線方程代入得，
則．
設(shè)直線與以為直徑的圓的交點(diǎn)為，
則有．
令，得，此時(shí)為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，
即拋物線的通徑所在的直線．