Question

.已知直線經過橢圓的左頂點A和上頂點D，橢圓C的右頂點為B，點P是橢圓C上位于軸上方的動點，直線AP，BP與直線分別交于M，N兩點.
(1)求橢圓C的方程；
(2)求線段MN的長度的最小值；
(3)當線段MN的長度最小時，Q點在橢圓上運動，記△BPQ的面積為S，當S在上變化時，討論S的大小與Q點的個數之間的關系.

Answer 1

解：
(1)由已知得橢圓C的左頂點為，上頂點為D(0，2)，∴，故橢圓C的方程為.                                    
(2)直線的斜率顯然存在，且，故可設直線AP的方程為，從而
，設，則，∴直線的方程為：，得
∴
當且僅當即時等號成立
∴時，線段MN的長度取最小值3.               
(3)由(2)知，當線段MN的長度取最小值時，，此時直線BP的方程為
設與BP平行的直線
聯立得
由△＝得
當時，BP與的距離為，此時S_△BPQ＝
當時，BP與的距離為，此時S_△BPQ＝
∴當時，這樣的Q點有4個
當時，這樣的Q點有3個
當時，這樣的Q點有2個
當時，這樣的Q點有1個
當時，這樣的Q點不存在.

略