Question

(本題滿分15分)四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為AD的中點，ABCE為菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G，F分別是線段CE，PB上的動點，且滿足＝＝λ∈(0，1)．

(Ⅰ) 求證：FG∥平面PDC；
(Ⅱ) 求λ的值，使得二面角F－CD－G的平面角的正切值為．

Answer 1

方法一：
(Ⅰ) 證明：如圖以點A為原點建立空間直角坐標系A－xyz，其中K為BC的中點，

不妨設PA＝2，則，，
，，，．
由，得
，，
，
設平面的法向量=(x，y，z)，則
，，
得 
可取=(，1，2)，于是
，故，又因為FG平面PDC，即//平面．
(Ⅱ) 解：，，
設平面的法向量，則，，
可取，又為平面的法向量．
由，因為tan＝，cos＝，
所以，解得或(舍去)，
故．                         
方法二：
(Ⅰ) 證明：延長交于，連，．得平行四邊形，則// ，

所以．
又，則，
所以//．
因為平面，平面，
所以//平面．    …………6分
(Ⅱ)解：作FM于，作于，連．
則，為二面角的平面角．
，不妨設，則，，
由  得 ，即 ．

略