Question

（2007•廣州一模）函數f（x）=2^x和g（x）=x³的圖象的示意圖如圖所示，設兩函數的圖象交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
（Ⅰ）請指出示意圖中曲線C₁，C₂分別對應哪一個函數？
（Ⅱ）若x₁∈[a，a+1]，x₂∈[b，b+1]，且a，b∈{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，指出a，b的值，并說明理由；
（Ⅲ）結合函數圖象的示意圖，判斷f（6），g（6），f（2007），g（2007）的大小，并按從小到大的順序排列．

Answer 1

分析：（I）根據指數函數、冪函數的圖象特點，可得結論；
（II）令φ（x）=f（x）-g（x）=2^x-x³，則x₁，x₂為函數φ（x）的零點，確定其所在區間，即可得出結論；
（III）從圖象上可以看出，當x₁＜x＜x₂時，f（x）＜g（x），當x＞x₂時，f（x）＞g（x），即可得出結論．

解答：解：（Ⅰ）C₁對應的函數為g（x）=x³，C₂對應的函數為f（x）=2^x．…（4分）
（Ⅱ）a=1，b=9．…（6分）
理由如下：
令φ（x）=f（x）-g（x）=2^x-x³，則x₁，x₂為函數φ（x）的零點，
由于φ（1）=1＞0，φ（2）=-4＜0，φ（9）=2⁹-9³＜0，φ（10）=2¹⁰-10³＞0，
則方程φ（x）=f（x）-g（x）的兩個零點x₁∈（1，2），x₂∈（9，10），
因此整數a=1，b=9．…（9分）
（Ⅲ）從圖象上可以看出，當x₁＜x＜x₂時，f（x）＜g（x），
∴f（6）＜g（6）．…（11分）
當x＞x₂時，f（x）＞g（x），∴g（2007）＜f（2007），…（13分）
∵g（6）＜g（2007），
∴f（6）＜g（6）＜g（2007）＜f（2007）．                        …（14分）

點評：本題考查函數解析式的確定，考查函數的零點，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．