Question

已知f(x)=a(x+2a)(x-a-3),g(x)=2^-x-2,同時滿足以下兩個條件:

①∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0;②∃x₀∈(1,+∞),f(x₀)g(x₀)<0成立,則實

數a的取值范圍是　　　　　.

Answer 1

-4<a<-2或-<a<0【解題提示】首先由g(x)<0求出x的取值范圍,然后結合圖象列不等式組求解.

【解析】由已知f(x)=a(x+2a)(x-a-3),g(x)=2^-x-2,根據①∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,即函數f(x)和函數g(x)不能同時取非負值,由g(x)<0,求得x>-1,即當x>-1時,g(x)<0;

當x≤-1時,g(x)≥0,故當x≤-1時,f(x)<0.根據②∃x₀∈(1,+∞),f(x₀)g(x₀)<0成立,而當x₀>1時,g(x₀)=-2<0,故f(x₀)=a(x₀+2a)(x₀-a-3)>0在(1,+∞)上有解,即當x>1時,函數f(x)在x軸的上方有圖象,故有

解得:-4<a<-2或-<a<0.