Question

如圖，正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD,線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在平面，垂足E是圓O上異于C、D的點，AE=3，正方形ABCD的邊長為．

（1）求證：平面ABCD丄平面ADE；
（2）求四面體BADE的體積；
（3）試判斷直線OB是否與平面CDE垂直，并請說明理由．

Answer 1

（1）如下（2）（3）OB與平面CDE不垂直

試題分析：解：（1）∵AE⊥平面CDE，平面CDE，

∴AE⊥CD，又∵正方形ABCD，∴CD⊥AD，
，∴CD⊥平面ADE，
，∴平面ABCD丄平面ADE．
（2）為正方形，
，，
又（（1）已證），
，平面，
∴四面體BCDE的體積，∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥DE，在Rt△ADE中，，
∴四面體ABDE的體積．
（3）連結CE，由（1）知，CD⊥平面ADE，∴CD⊥DE，∴弦CE為直徑，即O為CE中點．
若OB⊥平面CDE，則CD⊥CE，∴BC=BE，又AB=BC，∴AB=BE，
由（2）知，AB⊥AE，∴AB<BE，矛盾，∴OB與平面CDE不垂直．
方法2：若OB⊥平面CDE，∵AE⊥平面CDE，∴OB//AE，∴四點A、B、E、O在同一平面上，平面ABOE平面CDE=OE，又AB//CD，AB平面CDE，CD平面CDE，∴AB//平面CDE，∴AB//OE，∴CD//OE，矛盾．
點評：解決立體幾何的題目，若幾何體是規則的圖形，則可建立空間直角坐標系，用向量去解決問題較方便。