Question

【題目】已知F1，F2分別是雙曲線C：的左、右焦點，若F2關于漸近線的對稱點恰落在以F1為圓心，|OF1|為半徑的圓上，則雙曲線C的離心率為________．

Answer 1

【答案】2

【解析】

設F2關于漸近線的對稱點為M，F2M與漸近線交于點A，根據對稱關系和已知條件可得∠F1MF2為直角，根據勾股定理可得c＝2a，由此可得離心率.

由題意，得F1(－c,0)，F2(c,0)，一條漸近線方程為y＝x，

則F2到漸近線的距離為，

設F2關于漸近線的對稱點為M，F2M與漸近線交于點A，則|MF2|＝2b，A為F2M的中點．

如圖：

又O是F1F2的中點，∴OA∥F1M，

∴∠F1MF2為直角，

∴△MF1F2為直角三角形，

∴由勾股定理，得4c2＝c2＋4b2，

∴3c2＝4(c2－a2)，∴c2＝4a2，

∴c＝2a，∴e＝2.

故答案為：2