Question

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）．定義：（1）f（x）的導數f′（x）（也叫f（x）一階導數）的導數，f″（x）為f（x）的二階導數，若方程f″（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀） ）為函數y=f（x）的“拐點”；定義：（2）設x₀為常數，若定義在R上的函數y=f（x）對于定義域內的一切實數x，都有f（x₀+x）+f（x₀-x）=2f（x₀）恒成立，則函數y=f（x）的圖象關于點（x₀，f（x₀））對稱．
（1）己知f（x）=x³-3x²+2x+2，求函數f（x）的“拐點”A的坐標；
（2）檢驗（1）中的函數f（x）的圖象是否關于“拐點”A對稱；
（3）對于任意的三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）寫出一個有關“拐點”的結論（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐點的橫坐標，代入函數解析式求拐點的縱坐標．
（2）因為f（1+x）+f（1-x）=2f（1），由定義（2）知：f（x）=x³-3x²+2x+2關于點（1，2）對稱．
（3）將（2）的結論進行合情推理，可得結論：三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d （a≠0）的“拐點”是（-

b

3a

，f（-

b

3a

）），它就是f（x）的對稱中心．

解答：解：（1）依題意，得：f′（x）=3x²-6x+2，∴f″（x）=6x-6．
由f″（x）=0，即 6x-6=0．∴x=1，又 f（1）=2，
∴f（x）=x³-3x²+2x+2的“拐點”坐標是（1，2）．
（2）由（1）知“拐點”坐標是（1，2）．
而f（1+x）+f（1-x）=（1+x）³-3（1+x）²+2（1+x）+2+（1-x）³-3（1-x）²+2（1-x）+2
=2+6x²-6-6x²+4+4=4=2f（1），
由定義（2）知：f（x）=x³-3x²+2x+2關于點（1，2）對稱．
（3）一般地，三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d （a≠0）的“拐點”是（-

b

3a

，f（-

b

3a

）），它就是f（x）的對稱中心．
（或者：任何一個三次函數都有拐點；任何一個三次函數都有對稱中心；任何一個三次函數平移后可以是奇函數；都對．）

點評：本題考查一階導數、二階導數的求法，函數的拐點的定義以及函數圖象關于某點對稱的條件．