Question

已知數列{xn}滿足：x1∈(0，1)，xn+1=

xn( x 2 n +3)

3 x 2 n +1

(n∈N*）．
（1）證明：對任意的n∈N^*，恒有x_n∈（0，1）；
（2）對于n∈N^*，判斷x_n與x_n+1的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）驗證n=1時成立，然后用數學歸納法證明，假設x_k∈（0，1），證明x_k+1也滿足0，1），即可證明問題成立．
（2）通過做差，根據x_n∈（0，1）說明x_n＜x_n+1（n∈N^*）即可．

解答：解：（1）證明：①當n=1時，x₁∈（0，1）成立，
②設x_k∈（0，1），則x_k+1＞0顯然成立，
又xk+1-1=

xk( x 2 k +3)

3 x 2 1 +1

-1=

(xk-1)3

3 x 2 1 +1

＜0…（6分）
故x_k+1∈（0，1）也成立
由①②知對任意n∈N^*，恒有x_n∈（0，1）．…（8分）
（2）xn+1-xn=

xn( x 2 n +3)

3 x 2 n +1

-xn=

2xn(1+xn)(1-xn)

2 x 2 n +1

由于x_n∈（0，1）（n∈N^*），∴1-x_n＞0，∴

2xn(1+xn)(1-xn)

2 x 2 n +1

＞0，
故x_n與x_n+1的大小為x_n＜x_n+1（n∈N^*）．…（12分）

點評：本題是中檔題，考查數列的遞推關系式以及數學歸納法的應用，比較大小的基本方法--作差法的應用，考查計算能力．