Question

已知：函數y=f（x），x∈R，滿足f（1）=2，f（x+y）=f（x）*f（y），且f（x）是增函數，
（1）證明：f（0）=1；
（2）若f（2x）*f（x²-1）≥4成立，求x的取值范圍．

Answer 1

（1）由題意可令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）×f（y），得f（0）=f（0）*f（0），
解得f（0）=0或f（0）=1，
若f（0）=0，令x=1，y=0，則有f（1+0）=f（1）×f（0）=0，這與f（1）=2矛盾，故 f（0）=1
（2）由題意f（2x）×f（x²-1）≥4可變為f（x²-1+2x）≥4=2×2=f（1）×f（1）=f（2），
又f（x）是增函數
故有x²-1+2x≥2，整理得x²-3+2x≥0
解得x≥1或x≤-3
所以x的取值范圍是x≥1或x≤-3