Question

設命題P：關于x的不等式ax2-ax-2a2＞1（a＞0且a≠1）的解集為{x|-a＜x＜2a}；命題Q：y=lg（ax²-x+a）的定義域為R．如果P或Q為真，P且Q為假，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據題意得命題p、q有且僅有一個為真命題，分別討論“p真q假”與“p假q真”將兩部分合并，即可得出實數a的取值范圍．

解答：解：對于不等式ax2-ax-2a2＞1其解得情況如下：
當a＞1時，即為x₂-ax-2a²＞0，解得x＜-a，或x＞2a
當0＜a＜1時 即為x₂-ax-2a²＜0，解得-a＜x＜2a 
當命題Q：y=lg（ax²-x+a）的定義域為R 為真命題時，
易知a≠0，∴a＞0，且△=1-4a^2＜0，即a＞

1

2

 
∵P或Q為真，P且Q為假  
∴P，Q中一真一假，
若P真Q假，則有0＜a＜1且a≤

1

2

，∴0＜a≤

1

2

若P假Q真，則有  a＞1且  a＞

1

2

，∴a＞1
綜上所述，P或Q為真，P且Q為假，
a的取值范圍是0＜a≤

1

2

，或a＞1．

點評：本題考查含參數的不等式的解法，對數函數性質，復合命題真假的判斷，以及邏輯思維能力．本題的關鍵是轉化為時P，Q真假的條件．注意分類討論．