Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣t|+ （x＞0）；
（1）判斷函數y=f（x）在區間（0，t]上的單調性，并證明；
（2）若函數y=f（x）的最小值為與t無關的常數，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：0＜x≤t，f（x）=t﹣x+ ，

∴f′（x）=﹣1﹣ ＜0，

∴函數y=f（x）在區間（0，t]上單調遞減；

（2）解：t≤0，f（x）=x+t+ ，函數單調遞增，無最小值，

t＞0時，x＞t，f（x）=x+ ﹣t，要使函數y=f（x）的最小值為與t無關的常數，則t≥ ，

∴0＜t≤1，最小值為1．

【解析】（1）當0＜x≤t時，對f（x）進行求導，得到單調遞減，（2）分類討論，要使函數y=f（x）的最小值為與t無關的常數，則t≥,可求得t的取值范圍.
【考點精析】本題主要考查了函數的最值及其幾何意義的相關知識點，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值才能正確解答此題．