Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點（點均在第一象限），與軸，軸分別交于兩點，且滿足（其中為坐標原點）.證明：直線的斜率為定值.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）根據橢圓的離心率為，且過點，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓的方程；（2）設直線的方程為，點的坐標分別為，由可得，由，消去，根據韋達定理可得，進而可得結果.

試題解析：（1）由題意可得，解得，故橢圓的方程為；

（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，

故可設直線的方程為，點的坐標分別為，

由，

化簡得，，即，

由，消去得，

則，且，

故，

因此，即，

又，所以，又結合圖象可知，，所以直線的斜率為定值.