Question

【題目】已知橢圓的離心率為，若橢圓的長軸長等于的直徑，且，成等差數列

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設、是橢圓上不同的兩點，線段的垂直平分線交軸于點，試求點的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）求得圓的直徑，結合等差中項，聯立方程組，求解即可；

（Ⅱ）設線段所在的直線方程為：，聯立直線與橢圓的方程消元可得，由可得，然后表示出直線的方程，得到即可.

（Ⅰ）由成等差數列得：

又圓的方程可化為，

所以，，

∴，，

所以橢圓的方程為：

（Ⅱ）因為，所以可設線段所在的直線方程為：

聯立方程組，消去整理得：

則有：，且

又由橢圓的性質得：，，且

所以，

即，即①

又設線段的中點為，

則，

所以當時，直線的方程為：

把代入此方程得：

整理得

由①得：

又當時，由橢圓的對稱性知，直線與軸重合，，

所以的取值范圍是．