Question

第Ⅰ小題：已知函數f（x）=x+1，設g₁（x）=f（x），g_n（x）=f（g_n-1（x））（n＞1，n∈N^*）
（1）求g₂（x），g₃（x）的表達式，并猜想g_n（x）（n∈N^*）的表達式（直接寫出猜想結果 ）  
（2）若關于x的函數y=x2+

n

i=1

gi(x)(n∈N*)在區間(-∞，-

1

2

]上的最小值為6，求n的值．
第Ⅱ小題：設關于x的不等式lg（|x+3|+|x-7|）＞a
（1）當a=1時，解這個不等式；（2）當a為何值時，這個不等式的解集為R．

Answer 1

分析：第Ⅰ小題：（1）根據題意g₁（x）=f（x）=x+1，g_n（x）=f（g_n-1（x）），令n=2求出g₂（x）的表達式；由g₂（x），g_n（x）=f（g_n-1（x）），令n=2求出g₃（x）的表達式，觀察求出的表達式g₁（x），g₂（x）及g₃（x），發現其規律為n等于幾，其解析式為x加幾，根據猜想寫出g_n（x）的表達式即可；
（2）把（1）中猜想出的g_n（x）的表達式代入到函數解析式中，根據等差數列的求和公式化簡，得到y與x成二次函數關系，根據二次函數求最值的方法表示出y的最大值，讓其等于6列出關于n的方程，求出方程的解即可得到n的值；
第Ⅱ小題：（1）把a=1代入不等式，由對數的運算性質化簡后，討論x的取值化簡絕對值不等式，即可求出不等式的解集；
根據|x+a|+|x+b|≥|（x+a）-（x+b）|求出|x+3|+|x-7|的最小值，進而根據底數為10的對數為增函數，求出lg（（|x+3|+|x-7|）的最小值，讓a小于求出的最小值即可得到a的取值范圍．

解答：解：第Ⅰ小題：（1）∵g₁（x）=f（x）=x+1，
∴g₂（x）=f（g₁（x））=f（x+1）=（x+1）+1=x+2，
g₃（x）=f（g₂（x））=f（x+2）=（x+2）+1=x+3，
∴猜想g_n（x）=x+n；
（2）∵g_n（x）=x+n，
∴

n

i=1

gi(x)=g1(x)+g2(x)+…+gn(x)=nx+

n(n+1)

2

，
∴y=x2+

n

i=1

gi(x)=x2+nx+

n(n+1)

2

=(x+

n

2

)2+

n2+2n

4

，
∵n＞1，n∈N^*，∴-

n

2

＜-

1

2

，
又∵y=x2+

n

i=1

gi(x)在區間(-∞，-

1

2

]上的最小值為6，
當x=-

n

2

時，ymin=

n2+2n

4

=6，解得n=4；
第Ⅱ小題：（1）由題意得：|x+3|+|x-7|＞10，解得：x＜-3或x＞7；
（2）∵|x+3|+|x-7|的最小值為10，
∴lg（|x+3|+|x-7|）的最小值為1
要使不等式的解集為R，則須a＜1．

點評：此題考查了絕對值不等式的解法，二次函數的性質及對數函數的單調性，考查了學生觀察條件，作出猜想，歸納總結的能力．歸納總結得到g_n（x）的表達式是解第一問的突破點；在解第二問時注意運用|x+a|+|x+b|≥|（x+a）-（x+b）|這個性質．