Question

某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽這3個景點的概率分別為0.4，0.5，0.6，且客人是否游覽哪個景點互不影響，設ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值．
（1）求ξ的分布；
（2）求ξ的數(shù)學期望及方差；
（3）記“函數(shù)f（x）=x²-2ξx+lnx是單調(diào)增函數(shù)”為事件A，求事件A的概率．
（可能用到的數(shù)據(jù)：0.76²≈0.58，0.48²≈0.23，1.52²≈2.31，0.24²≈0.06）

Answer 1

分析：（1）客人游覽的景點數(shù)的可能取值為0，1，2，3．相應地，客人沒有游覽的景點數(shù)的可能取值為3，2，1，0，所以ξ的可能取值為1，3．P（ξ=3）=P（A₁•A₂•A₃）+P（

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

），由此能求出ξ的分布列；
（2）由（1）求出ξ的數(shù)學期望與方差；
（3）由于函數(shù)f（x）=x²-2ξx+lnx是單調(diào)增函數(shù)，故f′(x)=2x-2ξ+

1

x

≥0恒成立，解得ξ≤

2

，進而得到事件A的概率．

解答：解：（1）∵ξ=1表示客人游覽了1個景點或2個景點
∴P（ξ=1）=1-0.4×0.5×0.6-（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.76…（2分）
∵ξ=3表示客人游覽了0個景點或3個景點
∴P（ξ=3）=（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）+0.4×0.5×0.6=0.24…（5分）
故ξ的分布為：

ξ	1	3
P	0.76	0.24

（2）E（ξ）=1×0.76+3×0.24=1.48…（8分）
D（ξ）=（1-1.48）²×0.76+（3-1.48）²×0.24=0.23×0.76+2.31×0.24=0.7292
…（11分）
（3）∵函數(shù)f（x）=x²-2ξx+lnx是單調(diào)增函數(shù)
∴f′(x)=2x-2ξ+

1

x

≥0
∴ξ≤x+

1

2x

（x＞0）
∵x+

1

2x

≥

2

∴ξ≤

2

…（14分）
∴P(A)=P(ξ≤

2

)=P(ξ=1)=0.76…（16分）

點評：本題考查離散型隨機變量的期望和方差以及導數(shù)有關的不等式恒成立問題，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．