Question

【題目】已知以點為圓心的圓過點和，線段的垂直平分線交圓于點，且.

（1）求直線的方程；

（2）求圓的方程；

（3）是否存在點在圓上，使得的面積為？若存在，請指出共有幾個這樣的點？說明理由，并求出這些點的坐標.

Answer 1

【答案】(1) (2)或;（3）存在，有兩個點,當時,點坐標為或;當時,點坐標為或

【解析】

（1）由題意知直線垂直平分線段，由的坐標求得所在直線的斜率，可得所在直線的斜率，再由中點坐標公式求得中點坐標，代入直線點斜式方程即得答案;

（2）由題意知線段為圓的直徑，可得.設圓P的方程為，把的坐標代入圓的方程，聯立求得的值，即可求得圓的方程;

(3)由,當的面積為時,則點到直線的距離為，又因為圓心到直線的距離為,且，可知圓上共有兩個點滿足條件，通過求出的平行直線和圓聯立即可求出點坐標.

(1)由題意知直線垂直平分線段，

中點坐標,又 ，，

∴直線的方程為，即；

(2)由題意知線段為圓的直徑，

設圓P的方程為，

∵圓經過點，

，

解得或.

∴圓的方程為或.

（3）,當的面積為時,點到直線的距離為，又因為圓心到直線的距離為，圓的半徑為,且，

圓上共有兩個點,使的面積為18.

點在與直線平行且距離直線的為的直線上，同時圓心到直線的距離為.直線與圓的交點即為所求點.

當時,可求得直線

或，所以此時點坐標為或;

當時,可求得直線

或，所以此時點坐標為或;