Question

“a＞0”是“函數(shù)f（x）=ax³-x²+x+1在R上為增函數(shù)”的（　　）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：由f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以得到導(dǎo)函數(shù)大于等于0恒成立，分a大于0，a等于0和a小于0三種情況討論，利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)及開(kāi)口方向即可得到根的判別式的正負(fù)，得到關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范圍，最后根據(jù)充要條件的定義即可得出答案．

解答：解：由函數(shù)f（x）=ax³-x²+x+1，得到f′（x）=3ax²-2x+1，
因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞增，所以f′（x）≥0恒成立，即3ax²-2x+1≥0恒成立，
設(shè)h（x）=3ax²-2x+1，
當(dāng)a＞0時(shí)，h（x）為開(kāi)口向上的拋物線，要使h（x）≥0恒成立即△=4-12a≤0，解得a≥

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；
當(dāng)a=0時(shí)，得到h（x）=-2x+1≥0，解得x≤

1

2

，不合題意；
當(dāng)a＜0時(shí)，h（x）為開(kāi)口向下的拋物線，要使h（x）≥0恒成立不可能．
綜上，a的范圍為[

1

3

，+∞）．
又a∈[

1

3

，+∞）⇒a＞0，反之不成立．
故“a＞0”是“函數(shù)f（x）=ax³-x²+x+1在R上為增函數(shù)”的必要不充分條件．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，掌握不等式恒成立時(shí)所滿(mǎn)足的條件，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題．